Encontrar Limite de um Integral: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/02/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Suponha que $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ seja contínuo. Determine se existe o seguinte limite

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Como $ f (x) $ e $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ são contínuos, então seu produto é Riemann integrable. No entanto, $ \ lim_ {n \ para \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ não existe, então não é uniformemente convergência e não podemos passar o limite dentro da integral. Também não satisfaz nas condições do teorema de Dini. Não sei como fazer um argumento válido para esse problema, mas acho que pelo que eu disse que o limite não existe. Agradeço qualquer ajuda.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Lema de Riemann-Lebesgue . Observe que $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Obrigado, eu acho, posso completá-lo agora
Teepeemm 07/31/2017
Isso parece ser mais avançado do que o problema está pedindo.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Uma maneira ligeiramente diferente de resolver isso é usar a seguinte observação.

Proposition. Se $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ for contínuo, $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ é contínuo e $ L $ -periodic, então

$$ \ lim_ {n \ para \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Assumindo esta afirmação, a resposta segue imediatamente, pois $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ é $ 2 \ pi $ -periódico e

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sen ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. A intuição é muito clara: se $ n $ for muito grande, então no subintervalo $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subconjunto [a, b] $ nós temos

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Então, ignorando os detalhes, teríamos

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    e tomando o limite como $ n \ para \ infty $, o lado direito converge para o valor desejado. Preencher os detalhes é bastante rotineiro.

  3. O pressuposto de continuidade é apenas uma configuração técnica para a prova simples, e você pode relaxá-los em certos graus, pagando mais esforço.


Michael Hartley 07/31/2017.

Você não pode concluir $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ não existe apenas porque $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ não. Por exemplo, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ não existe, mas $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$, uma vez que a integral é zero para todos $ n $.

Receio que minha utilidade se esgote neste ponto, embora eu pense que o limite existe: você deve, se não houver mais nada, encontrar algum argumento epsilon-delta que expresse a integral como a soma de um monte de integrais em intervalos de comprimento $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Esta pode ser uma maneira muito ruim de enfrentar o problema.

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