Funções que são sempre inferiores aos seus derivados

Mike Brown 09/12/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Eu estava pensando se existem funções para que $$ f '(x)> f (x) $$ para todos $ x $. Apenas exemplos que eu poderia pensar eram $ e ^ x - c $ e simplesmente $ - c $ em que $ c> 0 $. Além disso, existe alguma significância em uma função que é sempre menor que sua derivada?


Editar: Muito obrigado por todas as respostas. Parece que quase todas as funções que se aplicam são exponenciais por natureza ... Existem mais exemplos como - 1 / x?

Mais uma vez, existem aplicações / manifestações físicas dessas funções? [por exemplo, um objeto com uma velocidade que é sempre maior do que a sua posição / aceleração é sempre maior que a velocidade]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Fora do topo da minha cabeça, qualquer função limitada, monotonicamente crescente no meio-plano inferior.
1 Robin Saunders 07/29/2017
A resposta de Ixion dá a solução completa e geral (embora algumas famílias particulares de soluções possam ser gravadas em formas mais agradáveis) e devem ser aceitas.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Por favor, repare o título, mudando o "seu" para "o seu". A maneira como o título está escrito, por um momento parecia que você estava considerando derivados de todos os pedidos. E agora estou curioso sobre essa questão secundária, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Se $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, podemos definir $ f (x) = y' (x) -y (x) $ que é positivo para todos $ x $. Suponha que $ y '(x) $ é função contínua para que $ f (x) $ seja contínuo também. Agora, com este elemento, podemos construir a equação diferencial $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ e suas soluções são dadas por: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Mais uma vez, existem aplicações / manifestações físicas dessas funções? [por exemplo, um objeto com uma velocidade que é sempre maior do que a sua posição / aceleração é sempre maior que a velocidade]

Não sei se há uma aplicação desta propriedade interessante, mas tenho certeza de que não pode comparar a velocidade com a posição porque não são quantidades homogêneas.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Assumindo $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

(f) (x)

Então, você pode ativar qualquer função $ g $ onde $ g '(x)> 1 $ neste tipo de função, levando a sua exponencial:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implica \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ implica \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Você assume $ f (x)> 0 $ no começo
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Então ele poderia usar $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ como seu ponto de partida para qualquer $ f $. Dessa forma, sempre tem $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
A resposta de Ixion dá a generalização completa, permitindo que $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ seja qualquer função que seja em todo lugar - positiva.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Não, ele assume a continuidade de $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Tenho certeza de que essa condição não é realmente necessária.

Peter 07/28/2017.

Um exemplo simples é $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Um problema mais interessante é encontrar uma função $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, cuja imagem é $ \ mathbb {R} $ e satisfaz $ f '(x)> f (x) $ para todos $ x \ in \ mathbb {R} $. Uma dessas funções é

$$ \ sinh (x), $$

Porque

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ para todos $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Tome $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Então, por $ \ alpha> 1 $ nós temos $ f '(x)> f (x) $ e para $ \ alpha <1 $ nós temos $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Que tal se você olhar para isso como uma equação diferencial. Dizer

$ y '= y + 1 $

que tem solução $ y = Ce ^ x -1 $

Ou $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

que tem solução $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Ou $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

que tem solução $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
A resposta de Ixion generaliza isso para $ y '(x) = y (x) + f (x) $ para qualquer $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - devo excluir minha resposta?
Robin Saunders 07/30/2017
Eu não sei muito sobre a etiqueta de troca de pilha, mas acho que seria uma vez que você publicou sua resposta primeiro e contém exemplos específicos não na outra resposta, deve ser bom deixá-la.

Eric Towers 07/30/2017.

Um exemplo very simples é $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevante para sua edição: isso não é exponencial.

Outros exemplos que não são imediatamente exponenciais:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ é em todos os lugares negativos e em todos os lugares aumentando estritamente monotonicamente, por isso é em todo o lado menos do que sua derivada.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ também está em todos os lugares negativos e em qualquer lugar que aumenta estritamente monotonicamente. (Estes são muito semelhantes, uma vez que são cópias deslocadas dos CDFs das distribuições (padrão / normalizada) Cauchy e Gaussiana.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ é o ramo inferior de uma hipérbole com o $ x $ -axis e a linha $ y = x $ como asíntotas. É em todos os lugares negativos e em todos os lugares aumentando estritamente monotonicamente.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Veja, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Mais geralmente, qualquer função negativa com derivada positiva ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Outro exemplo simples seria $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

A desigualdade $$ f '(x)> f (x) $$ é equivalente a $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Portanto, a solução geral é tomar qualquer função diferenciável $ g (x) $ com $ g '(x)> 0 $ e colocar $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Observe que nada é assumido sobre $ f $, exceto a diferenciatividade, o que é necessário fazer a pergunta em primeiro lugar.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Para qualquer função diferencial $ f $ para a qual tanto $ f (x) $ quanto $ f '(x) $ são limitados a intervalos finitos, $ f' (x) - f (x) $ também está limitado a um intervalo finito, então há $ c $ para o qual $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Portanto, uma função $ g (x) = f (x) - c $ pode ser formada para a qual $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ or $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Por exemplo, isso é válido para muitas funções periódicas diferenciais.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
A última afirmação é errada, uma vez que nem todas as funções periódicas diferenciáveis ​​derivaram derivadas.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Você está certo. Eu estava considerando funções periódicas que eram diferenciáveis ​​em todos os pontos em $ \ mathbb {R} $, mas percebo que uma função só precisa ser diferenciável em todos os pontos em seu domínio para ser considerada diferenciável. Eu atualizei minha resposta.
Adayah 07/30/2017
Quero dizer, uma função $ f: \ mathbb {R} \ para \ mathbb {R} $ pode ser periódica e diferenciável em todos os pontos $ a \ in \ mathbb {R} $ e ainda ter derivada ilimitada.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Você tem algum exemplo dessa função?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah quero dizer, se uma função $ f $ é diferenciável em todos os lugares, sua derivada $ f '$ deve existir em todos os lugares, e $ f' $ deve ser contínuo (porque se contiver qualquer descontinuidade, $ f '$ não pode existir nesse ponto ). Isso torna impossível que $ f '$ seja ilimitado, certo?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike uma resposta para sua pergunta adicional "Existem exemplos físicos disso?" é habilitado pela dromastyx.

Seu exemplo mostra funções hiperbólicas que descrevem com precisão o fenômeno físico dos "solitons".

Solitons são ondas solitárias, como alargamentos do sol, Tsunamis etc. Um exemplo de encontrar essas ondas escondidas em equações conhecidas é:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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