A maioria dos matemáticos conhece a maioria dos tópicos em matemática?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Quantos tópicos fora de sua especialização é um matemático comum?

Por exemplo, um teórico de grupo médio sabe o suficiente de equações diferenciais parciais para passar em um teste em um curso PDE de graduação?

Além disso, quais são os tópicos "must-know" para qualquer aspirante a matemático? Por quê?

Como estudante de graduação, devo me concentrar mais na amplitude (escolhendo uma ampla gama de classes que são relativamente par-sábio não relacionadas, por exemplo, teoria de grupo e PDEs) ou profundidade (por exemplo, teoria de medida e análise funcional)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Só para você saber, a teoria de grupos is usada no estudo de equações diferenciais parciais, principalmente para explorar qualquer simetria que uma PDE possa ter.
53 Cauchy 07/27/2017
Não, um teórico de grupo médio receberá $ 0 $ em um curso PDE de pós-graduação (ele / ela might ter estudado PDE em algum momento, mas ele / ela definitivamente esqueceu tudo).
23 Cauchy 07/27/2017
Em geral, porém, a maioria dos matemáticos tem um pouco de exposição a uma ampla variedade de tópicos, de modo que, se precisassem de uma determinada ferramenta de algum outro ramo, poderiam (relativamente) rapidamente examinar o material e ler a literatura relevante.
1 owjburnham 07/27/2017
Eu suspeito que isso pode ser específico do país, e vale a pena marcar? Eu (no Reino Unido) nunca tive que fazer um único teste como estudante de graduação (graças a Deus).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, eu ouvi mais frequentemente que disse de Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Sua pergunta é filosófica e não matemática.

Um colega meu contou-me a seguinte metáfora / ilustração uma vez, quando eu era um estudante de bacharel e ele fez o seu doutoramento. E desde que alguns anos se passaram, posso me relacionar.

É difícil escrevê-lo. Pense em desenhar um círculo enorme no ar, ampliando e desenhando um círculo enorme novamente.

Isso tudo é conhecimento:

[--------------------------------------------] 

Todo conhecimento contém muito, e a matemática é apenas uma pequena parte dela - marcada com a cruz:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

A pesquisa matemática é dividida em muitos tópicos. Álgebra, teoria dos números e muitos outros, mas também matemática numérica. Essa é essa parte minúscula aqui:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Matemática numérica é dividida em vários tópicos, bem como, numéricos ODE, otimização etc. E um deles é FEM-Theory para PDEs.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

E essa é a parte do conhecimento, onde me sinto confortável dizendo "Eu sei um pouco mais do que a maioria das outras pessoas no mundo".
Agora, depois de alguns anos, eu estenderia essa ilustração mais um passo: meu conhecimento nessa parte parece

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Eu ainda só sei "um pouco" sobre isso, a maioria não sei, e a maior parte do que eu aprendi já está esquecido.

(Na verdade, FEM-Theory ainda é um tópico enorme, que contém, por exemplo, diferentes tipos de PDEs [elípticos, parabólicos, hiperbólicos, outros]. Então você poderia fazer o "zooming" várias vezes mais.)


Outra pequena sabedoria é: alguém que terminou a escola acha que sabe tudo. Uma vez que ele obteve seu mestrado, ele sabe que não sabe nada. E depois do doutorado, ele sabe que todos ao seu redor também não sabem nada.


Perguntar sobre o seu foco: IMO usar os primeiros anos para explorar tópicos em matemática para descobrir o que você gosta. Então vá mais fundo - se você encontrou o que gosta.

Existem tópicos "preciso saber"? Existem noções básicas que você aprende nos primeiros termos. Sem eles, é difícil "falar" e "fazer" matemática. Você aprenderá as ferramentas necessárias para se aprofundar. Depois disso, sinta-se livre para desfrutar de matemática :)
Se o seu foco de pesquisa é, por exemplo, em números PDE (como o meu é), mas você também gosta de matemática pura - vá em frente e faça uma palestra. Isso ajudará você? Talvez talvez não. Mas com certeza você se divertiu adquirindo conhecimento, e é isso que conta.

Não pense muito sobre quais palestras participar. Tudo vai dar certo. Eu acho que a maioria dos matemáticos concordará com essa afirmação.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Isso é semelhante ao The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Para o registro, eu sou um filósofo profissional (Ph.D. em filosofia, trabalho como professor, tudo isso). Soo ... na minha opinião profissional, esta questão não é filosófica. É empírico. OP pede generalizações empíricas sobre matemáticos. A sugestão de P. Siehr é que a questão é declarada imprecisamente ou baseada em suposições incorretas. Isso não torna a questão ou suas possíveis respostas filosóficas. (fwiw Eu não concordo com P. Siehr que a pergunta como afirmada não pode ser respondida, e minhas observações não servem como suporte para os comentários da amWhy).
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Deve-se notar que "filosófico" em um contexto matemático geralmente não se refere ao campo da filosofia, mas a quase qualquer pensamento matematicamente relevante ou inspirado fora da matemática rigorosa e formal. (Espero que matemáticos usando a palavra reconheçam isso!) Eu concordo que a questão não é filosófica no sentido real da palavra, mas eu acho que é filosófica no sentido empregado por muitos matemáticos.
Mars 08/09/2017
Ah, isso é interessante @JoonasIlmavirta. Obrigado.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

A resposta para sua pergunta é fácil:
Não, um matemático médio especializado em, digamos, geometria algébrica não poderia passar without preparation um exame de nível de pós-graduação em equações diferenciais parciais.
Espere, é pior que isso: ele não podia nem passar em um exame de nível de graduação em equações diferenciais parciais.
Espere, é ainda pior: ele não poderia passar em um exame de in algebraic geometry em um tópico especializado diferente do seu. Por exemplo, um exame elementar sobre a classificação das singularidades, se ele é especializado em esquemas de Hilbert.
Por outro lado, ficaria muito surpreso se um analista notório que recebesse recentemente uma medalha de Fields pudesse resolver os exercícios, digamos, no Capítulo 5 das Curvas Algébricas de Fulton, a introdução padrão à geometria algébrica de graduação.

Some remarks
1) O que eu escrevi é fácil de confirmar em particular, mas impossível de provar em público:
Não posso muito bem escrever que em uma conversa recente XXX, um probabilista respeitado, provou abundantemente que ele não tinha idéia do que é o grupo fundamental do círculo.

2) Se o autor YYY escreveu um artigo sobre equações diferenciais parciais usando técnicas de grupo favorável, isso não implica que outros especialistas em seu campo conheçam qualquer teoria de grupo.
Nem sequer prova que YYY sabia muito sobre a teoria dos grupos: ele pode ter percebido que a teoria do grupo estava envolvida em sua pesquisa e entrevistou um teórico de grupo que teria lhe contado sobre grupos receptivos.

3) No lado positivo, alguns matemáticos muito excepcionais parecem saber muito sobre quase todos os assuntos da matemática: Atiyah, Deligne, Serre, Tao vêm à mente.
Minha triste conjectura é que seu número é uma função que tende a zero com o passar do tempo.
E embora eu não pudesse aceitar um exame de análise, estou ciente do que isso significa para uma função $ \ mathbb N $ -valued ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Temos algumas pessoas no meu departamento que, no mínimo, podem comentar sobre uma grande variedade de subcampos dentro de uma disciplina ampla. Vários geômetras vêm à mente que têm algo inteligente a dizer sobre muitas áreas da geometria. Talvez não seja possível saber tudo. Mas esperamos que ainda seja possível conhecer muitas coisas sobre muitas coisas. Eu acho que é provavelmente bom o suficiente, já que agora há muito mais coisas para saber!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, Quando você diz "Por outro lado, eu ficaria muito surpreso se um analista notório que recentemente recebeu uma medalha de Fields pudesse resolver os exercícios, digamos, no Capítulo 5 das Curvas Algébricas de Fulton, a introdução padrão à geometria algébrica de graduação". quanto tempo eles estão autorizados a pensar em cada exercício? Se lhes déssemos tempo suficiente para ler o livro e praticar, certamente eles resolveriam. Eles não têm permissão para ler o livro e têm que resolvê-los no local, em quanto tempo?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Querido @Santropedro, é claro que, se aquele brilhante analista recebesse uma semana ou duas, ele poderia ler o livro e então resolver seus exercícios. O ponto que eu queria fazer é que ele provavelmente não poderia resolvê-los com o que ele sabe agora.
2 Michael Kay 07/28/2017
Alguns anos atrás eu pensei que seria divertido tentar resolver um trabalho de matemática GCSE (para crianças de 16 anos) que minha filha trouxe para casa. Nessa idade, eu teria navegado sem dificuldades. Descobri que não conseguia responder a uma única pergunta, mesmo que meu trabalho em engenharia de software envolvesse exposição regular a muitas tarefas matemáticas.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: sim, é exatamente esse o ponto. O OP perguntou sobre assuntos com os quais um matemático was familiarizado. A questão de saber se ele could se familiarizar com tal assunto e quanto tempo levaria é completamente diferente, e bastante correlacionado com a noção de ser "brilhante".

MCS 07/29/2017.

Meus dois centavos: a menos que você tenha um cérebro mágico, ou seja algum tipo de gênio que faça época, você provavelmente descobrirá que só pode ter tanta matemática em sua mente a qualquer momento. Então, por razões práticas - tanto no que diz respeito a escrever uma dissertação, quanto em fazer uma carreira para si mesmo - você provavelmente deve se ater a uma ou duas áreas estreitamente relacionadas, de modo que você possa ter experiência suficiente para se tornar útil a uma dissertação. instituição de pesquisa ou a qualquer coisa que você queira fazer com o seu futuro.

Dito isto, descobri que a graxa de cotovelo e a habilidade em matemática muitas vezes uncorrelated são uncorrelated uns com os outros. Em vez disso, a habilidade costuma depender mais da matemática que se seen . Para esse fim, eu diria, embora você definitivamente deva escolher uma área de assunto ou duas para chamar de sua, você deve se esforçar para manter uma mente aberta e manter um interesse ativo em uma variedade tão ampla de disciplinas matemáticas quanto possível.

Muitas vezes acho que a leitura (mesmo que casualmente) sobre formas de matemática não relacionadas às minhas áreas de pesquisa fornece uma riqueza de novas ideias e insights. Quanto mais padrões e fenômenos você conhecer, maiores as chances de perceber algo de interesse intrigante em seu trabalho, e isso pode lhe dar alguma intuição que você talvez não tivesse. No mínimo, ajudará você a saber quais tópicos ou fontes (ou colaboradores ...) procurar quando você se deparar com algo fora de sua área de maior conhecimento.

Edit: mais uma coisa. Linear algebra. Parafraseando Benedict Gross, não há tal coisa como saber muita álgebra linear. Está loucamente em everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Existe, obviamente, uma ambiguidade fantástica na questão. Mas, com qualquer interpretação, a resposta seria geralmente, "não, a maioria dos praticantes de alguma parte de X não se lembra de todo o X ... porque eles não need ".

Assim, se apenas porque a maioria das memórias das pessoas ainda muito inteligentes desaparecem com o tempo, haverá apenas um pequeno resíduo das coisas básicas-padrão na mente dos matemáticos que estão trabalhando em um tipo particular de coisa por alguns anos. Além de ensinar cálculo, há pouca need de lembrar muito mais. Sim, do ponto de vista da erudição, isso é potencialmente angustiante, mas, de fato, em quase todas as situações de matemática profissional, há pouca motivação / recompensa para a erudição genuína. De alguma forma, não se encaixa em fórmulas de aumento salarial, estabilidade ou muito mais. (Não que eu me importe se eu tento entender as coisas "para pagar", ou não ...)

É verdade que a maioria dos programas de pós-graduação em matemática dos EUA tenta engendrar alguma competência / apreciação mínima para uma grande parte da matemática básica, mas depois de "passar por qualificadores" parece que a grande maioria das pessoas não tem muito interesse em continuar bolsa de estudo, seja em princípio ou por possíveis benefícios diretos.

Além disso, discordo da (o que eu acho) um quadro simplista de que "especialização" é como "ampliar o zoom com um microscópio", e assim por diante. Claro, esta é uma visão de mundo defensável, e visão de mundo sujeita-sábia, e, claro, pelas ações de alguém pode-se fazer uma descrição accurate ... mas eu acho que não é exato da realidade. Especificamente, eu não vejo as idéias genuínas como sendo quase tão "localizadas" como um "microscópio de zoom físico" seria relevante para. Ou seja, a idéia de que "matemática" pode ser representada, de qualquer maneira razoável, como uma coisa física, implicando toda a identidade local que isso implica, acho que é extremamente imprecisa. Mais uma vez, sim, podemos make que seja preciso, se não for por ignorância ou por um ato ignorante. Mas...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

A questão de quantos tópicos de matemática um matemático médio conhece depende muito de duas definições:

  1. Tema
  2. Conhecer

É claro que também depende de outras definições (como o matemático), mas em menor grau.

Abordagem quantitativa para responder a esta pergunta

Vamos definir níveis de tópicos da seguinte maneira, com base na wikipedia :

  1. Matemática (1 tópico neste nível)
  2. Matemática pura / Matemática aplicada (2 tópicos a este nível)
  3. Álgebra, ..., Pesquisa Operacional (13 tópicos deste nível)
  4. Álgebra abstrata, álgebra booleana, ... (tópicos neste nível)

Agora, com base na experiência pessoal e em uma imagem do matemático mediano, posso responder o quanto tal matemático saberia sobre isso, para cada nível:

  1. Pode passar um curso de pós-graduação sobre este tema
  2. Pode passar um curso de pós-graduação sobre esses tópicos
  3. Pode passar um curso de pós-graduação em alguns desses tópicos, pode passar um curso introdutório sobre a maioria desses tópicos
  4. Pode passar um curso de pós-graduação em alguns desses tópicos (talvez 5 ~ 15%)

Observe que, se você ultrapassar o nível 4, ficará tão específico que talvez não encontre cursos completos de pós-graduação sobre esse assunto. Daí a minha conclusão:

Com base na minha experiência pessoal, espero que um matemático médio tenha um conhecimento decente de entre 5% e 15% dos tópicos no nível do curso de graduação.


Linas 07/29/2017.

Passei vários anos em um projeto para ler os primeiros 1-2 capítulos de pelo menos um livro de matemática em cada prateleira da biblioteca da universidade. Foi uma tentativa de obter uma pesquisa imparcial da matemática. Foi bom para mim, mas foi um luxo: a marcha forçada através de um programa de doutorado e na academia oferece pouco tempo para tal comportamento. No entanto, é importante: todos os melhores e mais famosos matemáticos estão claramente empregando ferramentas interdisciplinares em seu trabalho. E, para mim, pessoalmente, foi uma espécie de subir de nível: de repente, tudo é mais fácil.

Especializar-se em um campo é como levantar pesos apenas com o braço direito, ignorando o núcleo, as costas e as pernas: isso deixa você surpreendentemente fraco e incapaz. Quando você tem que dominar muitos estilos diferentes de abstração, você fica melhor na abstração, em geral, mesmo em sua especialidade escolhida. Isso, para mim, foi a grande surpresa inesperada.

Para a pergunta mais quantitativa aqui perguntada: eu poderia "passar em um teste no curso de pós-graduação XYZ?" para um curso de 1º ano, 1º semestre, talvez, provavelmente. Tipo de. Os exames tendem a colocar questões usando frases e notações que estão estreitamente alinhadas com o livro de classe, e essa notação pode variar fortemente de um livro para outro. Então, para isso, a preparação seria necessária. O ponto é que essa preparação se torna mais fácil.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Deveria haver muitos livros de matemática em uma biblioteca universitária. Eu nunca seria capaz de aprender todos os títulos e certamente nem todas as definições em todos esses livros. E é simplesmente impossível lembrar desse contexto. Mas um matemático profissional provavelmente é capaz de entender o contexto de qualquer um dos livros, se for necessário.

R K Sinha 08/07/2017.

Há uma grande escassez de livros didáticos de pós-graduação em matemática escritos com o objetivo de ensinar o "verdadeiro assunto" o mais rápido possível. "Smooth Manifolds by Sinha" é um desses livros. Se muitos livros desse tipo se tornarem disponíveis, a erudição em matemática não seria uma coisa de riso.


John Bentin 07/27/2017.

Certamente não. Por exemplo, o grande matemático Grothendieck estava insuficientemente bem familiarizado com a aritmética para reconhecer o inteiro $ 57 $ como não primo. As muitas contas desta história podem ser acessadas por uma pesquisa na Internet para os termos-chave; digamos, procure por grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Este é um exemplo ridículo! Grothendieck estava pensando em primos em geral. Ele simplesmente não poderia se importar menos sobre se $ 57 dólares é ou não um primo.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
A história não é inventada: Grothendieck de fato fez aquele disparate idiota, numa troca depois de uma palestra, depois de ter sido pedido para ser mais concreto por um membro da platéia. É claro que isso não muda em nada o fato de que Grothendieck foi um dos mais profundos aritméticos do século XX. E de fato 57 looks um pouco primo por alguma razão psicológica :-). Por outro lado, muitos matemáticos pensam que estou puxando a perna quando digo que $ 4999 $ is primo!
1 Dair 07/27/2017
Acredito que Terrance Tao também disse que 27 era primordial no relatório de Colbert, ou algo assim: p (Não que ele não esteja bem familiarizado com primos, apenas uma história divertida) No entanto, a melhor pergunta é como eu sei disso? E o que estou fazendo da minha vida?
1 quid 07/27/2017
Mas Grothendieck deve ter sabido que 57 não é primo, certo? Absolutamente não, disse David Mumford, da Brown University. "Ele não pensa concretamente". "Porque certamente ele sabia no sentido de que poderia ter respondido à pergunta" 57 é um número primo? " corretamente, e isso fica borrado lá.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Se responder à pergunta original pelo que parece ser a abordagem ligeiramente insípida de apontar lacunas inevitáveis ​​até no conhecimento dos maiores matemáticos, um exemplo melhor do que um deslize aritmético bobo teria sido quando Grothendieck perguntou a um colega sobre uma certa integral definida que ele havia encontrado. e ficou surpreso ao ser dito que normalmente era chamado de Distribuição Normal.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags